2011年7月27日水曜日

テトラのスウガク 〜テトラポッドの腕の角度問題〜


※上記画像は株式会社不動テトラのHP より引用


テトラポッドの形状の美しさは、「正四面体」に由来するものがあると思います。
(テトラポッドの腕の先を頂点にすると、正四面体になります。)
実際、テトラ模型作りの際に正四面体やその角を落とした切頂四面体をよく使っています。

正四面体は正三角形を4枚(切頂四面体は正6角形 を4枚)張り合わせるだけで簡単に作る事が出来ます。
しかし、その面がつくる角度は何度なのか? 常々疑問に思っていました。
切頂四面体の斜めに切った断面が正三角形なので、60度より大きいことはわかります。

答えはWikipedia にありました。
「二面角 約70.528779度」というのがそれです。

同様に、テトラポッドの腕の角度も真上からみれば120度ですが、、、
2本の腕が、同一平面上でつくる角度は120度より小さくなるはずです。

この角度は「中心と頂点を結ぶ直線のなす角 約109.471221度」として載っています。
どうやら、(180度 - 二面角)の関係の様です。
今回はこの角度について考えてみましょう。



図のような正四面体ABCD について考えます。
正四面体の中心(重心)は、1つの頂点と、その対面する面の重心を結ぶ線が交差する点です。
ここで、三角形DCB の重心H と頂点A を結ぶ線AH、三角形ACB の重心F と頂点D を結ぶ線DF が交差する点G が、正四面体ABCD の重心になります。

三角形ADE に注目します。



これは、正四面体を中央で2つに切った断面になります。
このとき、∠AED が「二面角」、∠AGD が「中心と頂点を結ぶ直線のなす角」に対応しています。

三角形AEH と三角形AGF が相似形となっていることから、∠AEH = ∠AGF となります。
よって、(180度 - 二面角) = 「中心と頂点を結ぶ直線のなす角」
の関係が成り立っていることがわかります。

AE は三角形ABC の高さであり、F が重心であることから、
AF:FE =2:1 の関係が成り立ちます。
また、AE = DE であり、DH:HE も2:1 となります。

∠AED をθとすると、
Cos θ= HE/AE = 1/3
逆関数(アークコサイン)を使って角度を求めると、
ArcCos(1/3) = 1.23095942 [rad] = 70.5287794 [度]

となりました。よって、テトラポッドの腕の角度は、、、

180 - 70.5 = 109.5 [度]

と、導く事が出来ました。

三角関数の計算はGoogle 電卓で可能です。



=== 追記(2011.8.6) ===

Mcguffin さん からのコメント「立方体に内接する正4面体を考えるとわかり易い」を受けて、再度挑戦しました。
立方体に内接するテトラといえば、、、
テトラ消しゴムのパッケージを思い出します。


こんな感じで、座標をとってみました。


一辺が2の立方体と、一辺が2√2 の正四面体。中心は (0,0,0) で共通です。
この座標取りだと、すぐに各辺の長さがわかります。求めたい「中心と頂点を結ぶ直線のなす角」∠COD や、「二面角」∠CED は前回同様、三角関数(の逆関数)で求める事ができます。
半分の角度(∠COF, ∠CEF )を逆正接(アークタンジェント) で求め、2倍するのが分かり易いと思います。
辺CF が√2なので、

atan (sqrt(2)/1) *180 / pi *2 = 109.471221 [度]
atan (sqrt(2)/2) *180 / pi *2 = 70.5287794 [度]

と、計算できました。

7 件のコメント:

  1. 立方体に内接する正4面体を考えると、
    計算が楽になると思いますよ。

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  2. Mcguffin さん、コメントありがとうございます。
    (仮想ブロックの方ですか? 光栄です。)

    ご指摘の件を参考に、週末再挑戦してみます。

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  3. 誤解されてるとまずいので補足しますと、
    計算自体はあっていると思います。
    私も同じ結果が出ています。

    平面に置いた状態で正4面体を考えると、
    計算がたいへんだと思いますが、
    立方体に接する正4面体を考えると、
    直交する3軸をイメージできるので、
    単純化の手がかりになると思います。
    今後計算が必要になったときは、
    きっと手助けになると思います。

    私のブログ(mcguffin.seesaa.net)の
    3Dモデリングでも、テトラポッドをはじめとした
    正4面体タイプのブロックについては、
    立方体に内接する正4面体と同じ向きでモデリングした後、
    回転させて向きを変えています。

    話は変わりますが、TETRASTYLEさんは、
    テトラポッド以外のブロックには手を出さないのですか?
    私もスタートはテトラポッドですが、
    他のブロックもなかなか美しい造形だと思いますよ。

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  4. 内接する正四面体で考えてみました。
    この方法は角度が分からなくても、頂点座標がかけるのですね。驚きです。

    他のブロックもいいですね。TETRASTYLE 自身の知名度も活動歴も まだまだなので、徐々に範囲を広げてみたいと思います。

    テトラマップ(http://djgj.sub.jp/TETRASTYLE/map/tetra-map5.html)は種類別に登録できるようにしたいなと思っています。

    ゆくゆくは iPhone アプリ「消波ブロック図鑑」を作りたいです。その際はMcguffin さんにご協力いただければ幸いです。

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  5. すいません。
    日曜に返信したつもりだったのですが、
    こちらのミスで書き込めてなかったようです。

    >その際はMcguffin さんにご協力いただければ幸いです。
    御役に立てるかどうかは、その内容によるかと思います。
    よかったら、私のブログの「メールフォーム」から、
    一度御連絡をください。
    よろしくお願いいたします。

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  6. Mcguffin さん
    返信コメントありがとうございます。
    後日あらためてご挨拶させていただきます。
    今後ともよろしくお願い致します。

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  7. https://www.youtube.com/watch?v=Z9PidJdcoh8

    問題
    座標空間内の2点A(0,1,5),B(5,6,0)を通る直線をlとする。
    点P(4,8,13)および直線l上の2点Q,Rを頂点とするΔPQRが正三角形であるとする。
    (1)直線lに、点Pから垂線を下ろし、直線lとの交点をHとする。点Hの座標を求めよ。
    (2)正三角形ΔPQRの1辺の長さを求めよ。
    (3)四面体PQRSが正四面体になるようなすべての点Sの座標を求めよ。


    (2) 正三角形\[CapitalDelta]PQRの1辺の長さを求めよ。
    Q=q*{0,1,5}+(1-q)*{5,6,0}
    R=r*{0,1,5}+(1-r)*{5,6,0}
    ● KARA {q->1/5 (4+Sqrt[14]),r->1/5 (4-Sqrt[14])}
    1辺の長さ=2 Sqrt[42]

    (3) 四面体PQRSが正四面体になるようなすべての点Sの座標を求めよ。
    ({X,Y,Z}-P).({X,Y,Z}-P)==(2 Sqrt[42])^2
    ({X,Y,Z}-Q).({X,Y,Z}-Q)==(2 Sqrt[42])^2
    ({X,Y,Z}-R).({X,Y,Z}-R)==(2 Sqrt[42])^2

    ■ KARA
    {{X->2/3 (3-5 Sqrt[6]),Y->4/3 (3+2 Sqrt[6]),Z->1/3 (21-2 Sqrt[6])},{X->2/3 (3+5 Sqrt[6]),Y->4/3 (3-2 Sqrt[6]),Z->1/3 (21+2 Sqrt[6])}}

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